У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Квазислойно—конечные и квазилокально-нормальные группы
Количество страниц 65
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23528.doc 
Содержание Содержание
Введение 3

1 Предварительные сведения 13

1.1 Слойно конечные, локально нормальные и FC-группы... 13

1.2 Результаты общего характера... 16

1.3 Группы с инволюциями ... 21

1.4 Группы, заданные копредставлениями... 22

1.5 Достаточные условия бесконечности централизатора элемента... 23

2 Редукция к простым группам 25

2.1 Некоторые свойства квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп... 25

2.2 Теоремы существования... 28

2.3 О некоторых подгруппах простой квазислойно-конечной группы ... 30

2.4 О некоторых подгруппах простой квазилокально-нормалыюй группы... 35

3 К вопросу о расщепляемости 38

3.1 Техника вееров... 38

3.2 Вееры максимальных подгрупп... 42

3.3 Достаточные условия расщепляемости... 49

4 Пары порождающих элементов 53 Список литературы 65




Введение

Группы с различными условиями минимальности Черникова — клас-сический объект исследований абстрактной теории групп. Результаты О.Ю. Шмидта [37], С.Н. Черникова [32]-[36], В.П. Шункова [38, 39], А.Ю. Ольшанского [13] и др., прочно обосновали это направление в теории бесконечных групп.

Условия минимальности Черникова — есть условия обрыва убывающих цепей подгрупп, удовлетворяющих заданному свойству. Поэтому, в случае отрицательного решения проблемы Черникова, к ней всегда существует минимальный контрпример — группа, все собственные подгруппы которой принадлежат заданному классу групп, сама же она л этому классу не принадлежит.

Пусть о некоторое теоретико-групповое свойство. Не сг-группа, все собственные подгруппы которых являются сг-группами, называется минимальной не-сг-группой или, в используемой нами терминологии, квази-а-группой ([12], вопрос 14.83). Следуя этому определению, квазиконечной, квазичерниковской, квазислойно-конечной, квазилокально-нормалъной и квази-F С -группой называется группа, все собственные подгруппы которой соответственно конечны, черниковские, слойно-конечны, локально нормальны или FC-группы, сама же группа указанным свойством не обладает. Отметим, что данное определение согласовано с определениями квазиконечных и квазициклических групп в [13], но не совпадает с определением квазиабелевой группы (группы с конечным коммутантом), используемым в [2].

Чтобы сформулировать цели проводимых исследований обратимся к результатам О.Ю. Шмидта. Согласно известной работе О.Ю. Шмид-та [37] (1947), все нормальные подгруппы квазичерниковских р-групп

центральны, а их фактор-группы по центрам просты и не содержат подгрупп конечного индекса. Там же доказано, что любые две максимальные подгруппы квазичерниковской простой р-группы пересекаются по единице. При р = 2 последнее свойство приводит к противоречию [37], поскольку любые две инволюции в периодической группе порождают конечную подгруппу. При нечетном р анализ строения контрпримера G к противоречию не приводит. Множество всех максимальных, подгрупп группы G составляет ее расщепление, а любая пара ее неединичных элементов, взятых из разных компонент расщепления, порождает всю группу. Как доказал А.Ю.Ольшанский (1980 г.) [13], при любомне-четном р простые квазичерниковские р-группы действительно существуют. При этом, им же показано, что для любого счетного множества конечных или черниковских р-групп, их свободная амальгама может быть вложена в квазичерниковскую простую р-группу. Таким образом, в случае квазичерниковских р-групп мы имеем почти идеальную согласованность между результатами-абстрактной и"комбинаторной теориями групп.

Возникает вопрос, все ли контрпримеры к проблемам минимальности Черникова имеют аналогичное строение? Можно ли с помощью методов абстрактной теории групп приблизиться к границе, очерченной комбинаторной теорией групп в данном направлении? Решению этих задач в классах квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп и посвящена данная работа.

Для квазиконечных групп (бесконечных групп Шмидта) аналогичные исследования проводились Н.П.Струнковым, В.П.Шунковым, А.И.Созутовым.

Слойно конечные и локально нормальные группы в силу своего

строения допускают эффективное применение нормализаторного процесса, который использовал О.Ю.Шмидт в своем доказательстве [37]. Классы слойно конечных и локально нормальных групп были введены С.Н.Черниковым и А.П.Дицманом. Так, С.Н.Черниковым при изучении бесконечных локально конечных р-групп, удовлетворяющих условию минимальности, были выделены два крайних случая: случай, когда конечен центр группы, и случай, когда конечен его индекс в группе. Во втором случае в группе конечно множество элементов каждого порядка. В связи с этим в 1945 г. в работе С.Н.Черникова [32] было дано описание строения бесконечных р-групп, обладающих этим свойством. В таких р-группах центр удовлетворяет условию минимальности. Этот1 результат дал толчок исследованию произвольных групп, в которых конечно множество элементов каждого порядка. Описание их строения было дано в работе С.Н.Черникова [33], появившейся в 1948 г.. Такие группы получили в ней название слойно-конечных групп. На основе результатов С.Н.Черникова [33] изучение произвольных" слойно конечных групп было сведено к описанию тонких слойно конечных групп, в [35] показано, что последние исчерпываются тонкими слойно конечными группами, разложимыми в прямое произведение конечных групп, и подгруппами слойно конечных групп такого рода. В настоящее время слойно конечные группы составляют наиболее изученный класс FC-групп. Им посвящен целый ряд работ С.Н.Черникова ([32]- [36]). Некоторые свойства этих групп содержатся также в работе Р.Бэра [5]. Серьезный вклад в изучение слойно конечных и локально нормальных групп внесли Х.Х. Мухамеджан, Я.Д. Половицкий (см., например, [36], [8]), Ю.М.Горчаков и др.

Изучение периодических групп с конечными классами сопряжен-

ных элементов началось, по-видимому, в связи с известной проблемой Бернсайда о периодических группах с конечным числом образующих элементов. А.П.Дицман [9] показал, что для периодических групп с конечными классами сопряженных элементов проблема Бернсайда имеет положительное решение. Полученный им более общий результат (предложение 1) утверждает, что любое конечное множество элементов рассматриваемой группы содержится в некотором ее конечном нормальном делителе. То есть такие группы локально нормальны.

Известно (см. предложения 2, 3, 4), что слойно конечные группы содержатся в классе локально нормальных групп, как группы, все си-ловские подгруппы которых удовлетворяют условию минимальности, а класс локально нормальных групп совпадает с классом периодических FC— групп. Из этих утверждений следует, что класс квази-^С-групп содержит класс квазилокально-нормальных групп, который в свою очередь содержит класс квазислойно-конечных групп.

После решения, в. 1970 г.. В.П»~ Шунковым- ряда- известных проблем-минимальности в классе локально конечных групп [39], активизировались исследования группе близкими условиями конечности. Изучением строения квазилокально-нормальных и близких к ним групп в локально конечном случае занимались такие авторы, как В.В.Беляев; Н.Ф.Сесекин, Б.Хартли (B.Hartley) P.E. Филлипс (R.E.Phillips), М.Ку-зуджуоглу (M.Kuzucuoqlu), А.О.Азар (A.O.Azar), A.Arikan, J.Otal и> др. Так, в работе В.В.Беляева [2] показано, что локально конечная группа типа Миллера-Морено (группа, все собственные подгруппы, которых имеют конечный коммутант) не проста и отлична от своего коммутанта. Такие группы были полностью описаны В.В.Беляевым и Н.Ф.Сесекиным в работе [1]. Так как любая группа типа Миллера-

Морено является минимальной не FC-группой, то в случае, если существует группа G — группа типа Миллера-Морено, совпадающая со своим коммутантом, для нее справедлива теорема 1 В.В.Беляева из [2]. (предложение 8). Она утверждает, что в этом случае группа G либо двупорождена и фактор-группа группы G по ее центру Z(G) проста, либо G/Z(G) — бесконечная неабелева группа Шмидта.

В.В.Беляевым и Н.Ф.Сесекиным в 1976 г. в Коуровской тетради был поставлен вопрос 5.1: " Будет ли локально конечная минимальная не F С-группа а) не простой? б) отличной от своего коммутанта? "

На первый вопрос К.Е. Филлипсом и М.Кузуджуоглу был получен положительный ответ. В 1980 г. В.В.Беляевым в [3] было показано, что если локально конечная минимальная не FC-rpynna G отлична от своего коммутанта, то G — группа типа Миллера-Морено, а значит чер-никовская группа; если G совпадает со своим коммутантом, то G либо р-группа для некоторого простого р, либо фактор-группа G/Z{G) проста.- М.Кузуджуоглу- и~ К'.Е. Филлипсом- решение второй- части- вопроса-было сведено к примарным группам (см. [40]). На Международной конференции в Анталии (2003 г.) А.О. Азаром был анонсирован результат, утверждающий, что локально конечная минимальная не FC-группа отлична от своего коммутанта и является черниковской группой [40].

Цель диссертации — дать описание строения не локально конечных квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп, аналогичное описанию квазичерниковских р-групп, полученному Шмидтом.

В первой главе приведены результаты и методы, используемые в доказательствах основных результатов диссертации.

Во второй главе показано, что все собственные подгруппы исследуемых групп содержатся в максимальных подгруппах (предложение

20). Для квазислойно-конечных групп доказана теорема 1, являющаяся частным случаем теоремы В.В.Беляева [2] (предложение 8), но полученная независимо от этих результатов. В ней утверждается, что если G — квазислойно-конечная группа, либо G = Р-(а), где Р — черников-ская полная абелева р-группа не содержащая собственных бесконечных а-инвариантных подгрупп и \G : Cq{P)\ — простое число, либо G/Z(G)
— простая не локально конечная группа.

С помощью результатов: А.Ю.Ольшанского [13] доказывается существование множества мощности континуум неизоморфных простых квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп, для каждой из которых существует континуальное множество центральных расширений, принадлежащих этому же классу групп (теорема 2 и замечание 1). Таким образом, строение центра и строение фактор-группы по центру в квазилокально-нормальной (а значит и в квазислойно-конечной) группе могут не зависеть друг от друга. Поэтому в дальней-шем-вработе рассматриваются толькопростые-квазислойно-конечные-и квазилокально-нормальные группы.

Независимо от результатов В.В.Беляева [2] доказана теорема 3.

Теорема 3. Пусть G — простая квазислойно-конечная группа, тогда

1. Любые две бесконечные максимальные подгруппы группы G пересекаются по единичной подгруппе. В частности, если Н — беконеч-ная максимальная подгруппа группы G, то (G,H) — пара Фробе-ниуса.

2. Если G содержит инволюцию г, то Сс{г) = Н — бесконечная максимальная подгруппа группы G, инволюция в Н единственна, все инволюции в G сопряжены, силовские 2-подгруппы в G сопряжены

и являются либо (локально) циклическими, либо конечными (обобщенными) группами кватернионов.

С помощью результатов В.В.Беляева [2] доказано, что утверждения теоремы 3 имеют место и для простых квазилокально-нормальных групп (теорема 4 главы).

В третьей главе в теоремах 5, 6 и 7 исследуется строение бесконечных вееров подгрупп простых квазилокально-нормальных групп. Напомним, что веером X подгрупп группы G называется множество ее подгрупп, имеющих нетривиальное общее пересечение.

В теореме 5 изучаются свойства конечных максимальных подгрупп, имеющих нетривиальное пересечение с некоторой бесконечной максимальной подгруппой. Теорема 5 используется при доказательстве теоремы 6.

Теорема 6. Пусть G— простая квазилокально-нормальная группа, X — бесконечный веер всех максимальных подгрупп группы G, содержащих неединичный элемент а, иТ — основание этого веера. Тогда справедливо одно из двух утверждений:

1. Веер X содержит точно одну бесконечную подгруппу Н группы G, Т < Н и каждая конечная подгруппа М Е X есть группа Фробени-уса с неинвариантныммножителем МПН. При этом ядра любых двух конечных подгрупп веера X имеют тривиальное пересечение.

2. Все подгруппы веера X конечны и существует разбиение X = V U .Yi U Xi U ... U Хп веера X на конечный или пустой веер Y и конечное число п правильных вееров Х{ с основаниями Тг-. При этом каждая подгруппа Н 6 Х{ есть группа Фробениуса с неинвариантным множителем Гг (г = 1,...,п) и ядро любой подгруппы из
веера Х\ U X

В теореме 7 доказано, что если X — бесконечный веер конечных подгрупп группы G и основание Т веера X содержит почти регулярный в G элемент а, то для такого веера X утверждение 2 теоремы б также верно. Опираясь на приведенные результаты доказывается теорема о расщепляемости.

Теорема 8. Для простой квазилокально-нормалъной группы G верны следующие утверждения:

1. Если любая пара максимальных подгрупп Н,М из G с нетривиальным пересечением Т = Н П М удовлетворяет одному из указанных условий:

1) одна из них бесконечна, а вторая является конечной группой Фро-бениуса с неинвариантным множителем Т;

2) обе — конечные группы Фробениуса с неинвариантным множителем Т,

то группа G расщепляема.

2. Если в группе G существуют две максимальные подгруппы Я, М с нетривиальным пересечением Т = Н П М, не являющиеся группами Фробениуса, то группа G действует вершинно-транзитивно на бесконечном однородном локально конечном графе, стабилизатор вершины в которой — конечная максимальная подгруппа.

Теорема 8 справедлива и для простых квазислойно-конечных групп (замечание 2).

Основным результатом главы 4 и дисертациии является следующая
Теорема 9. Для любой пары неединичных элементов а,Ь простой квазилокалъно-нормальной группы G, хотя бы один из которых не является инволюцией, найдется бесконечно много элементов Ь9, таких, 4moG = (a.b9).

Следствие 1. Простая квазислойно-конечная и квазилокалъно-нормальная группа является монстром 1-го, 2-го и 3-го рода. В частности, для этих групп положительно решаются вопросы 13.53 и Ц-83 из Коуровской тетради [12].

Напомним, что выражение "почти для всех" означает "для всех, кроме, быть может, конечного числа". Следующая теорема усиливает утверждение теоремы 9 для некоторых пар порождающих простой квазислойно-конечной группы.

Теорема 10. Пусть G — простая квазилокально-нормальная группа, хотя бы один из элементов а, Ь ? G# не инволюция и Н > С<з(а), М > Сс(Ь) — максимальные подгруппы в G. Справедливы следующие утверждения.

1. Если \Н\ = оо, \М\ = оо и М ? HG, то G = (а, с) для каждого cebG.

2. Если \Н\ < оо, \М\ = оо, то G = (а, с) почти для всех с ? bG.

3. Если \а\ = \Ь\ — простое число и подгруппы (а), (Ь) не сопряжены в G, то G = (а, с) почти для всех с € bG.

4. Если \Н\ < оо, \а\, \Ь\ — различные простые числа и Сс(«) не содержит элементов из bG, то G = (а, с) почти для всех с Е bG.

5. Если \а\ = 2, \Ь\ ф 2 и Ьа = Ъ~1, то G = (6, с) почти для всех элементов с ? G, инвертируемых инволюцией а.
Результаты диссертации докладывались автором на Международных конференциях в 1999г. и 2000г. "Симметрия в естествознании", проходивших в Красноярске, на конференции, посвященной памяти Ю..И.МерьляКОна в 2000г. в Новосибирске, на "Мальцевских чтениях" в 2003г в Новосибирске, а также на красноярском городском семинаре "Алгебраические системы". Они неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГАУ и КрасГАСА.

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №99-01-00542, №03-01-00356 и Красноярского краевого фонда науки, грант №9F0132.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [21] -[27] и [10].

Автор выражает благодарность научному руководителю А.И. Созу-тову за постановку задач и внимание к работе.
Глава 1
Предварительные сведения

1.1 Слойно конечные, локально нормальные и FC-группы

Группа с конечными классами сопряженных элементов называется FC-группой. Группа называется локально нормальной, если любое конечное множество ее элементов содержится в некоторой конечной нормальной подгруппе [8]. Группа называется слойно конечной, если множество ее элементов любого данного порядка конечно [33, 15].

Пусть а некоторое теоретико-групповое свойство. Не сг-группа, все собственные подгруппы которой являются сг-группами, называется квази-а-группой ([12], вопрос 14.83) В соответствие с этим соглашением, квазиконечной, квазичерниковской, квазислойно-конечной, квазилокалъно-нормалъной и квази-F С -группой называется группа, все собственные подгруппы которой соответственно конечны, черников-ские, слойно-конечны, локально нормальны или FC-группы, сама же группа указанным свойством не обладает.

Для FC-групп большое значение имеет лемма Дицмана.

Предложение 1 (Лемма Дицмана, [9]) Конечное инвариантное мно-
жество элементов конечного порядка в любой группе порождает конечную нормальную подгруппу.

В частности,

Предложение 2 (С.Н. Черников, [36]) Периодические FC-группы — это в точности локально нормальные группы.

Предложение 3 [36] Непериодические FC-группы исчерпываются расширениями локально нормальных групп с помощью абелевых групп без кручения.

Как показал С.Н. Черников

Предложение 4 [36] Класс слойно конечных групп-совпадает с классом локально нормальных групп, все силовские подгруппы которых удовлетворяют условию минимальности.

Слойно конечная группа называется тонкой, если все ее силовские подгруппы конечны, и толстой, если хотя бы одна ее силовская подгруппа бесконечна [33, 15].

Группа G, в которой для любого числа п > 0 и любого элемента g ? G разрешимо уравнение хп = д, называется полной [11].

Группа G обладает полной частью А, если А нормальная абелева подгруппа, порожденная всеми полными абелевыми подгруппами из G, ив G/A нет полных абелевых подгрупп [11].

Предложение 5 (С.Н. Черников, [36]) Каждая полная подгруппа локально нормальной группы G содержится в центре группы G.

Предложение 6 (С.Н. Черников , [36]) Слойно конечную группу G можно представить в виде произведения двух поэлементно перестановочных подгрупп, из которых первая является полной абелевой слойно конечной группой, а вторая — тонкой слойно конечной группой.
Из этого утверждения и предложения 5 вытекает следущее предложение.

Предложение 7 (С.Н. Черников, [36]) Толстая слойно конечная группа G обладает нетривиальной полной частью А, содержащейся в Z(G).

Исследование квазилокально-нормальных групп в диссертации опирается на результаты В.В.Беляева [2]. Для рассматриваемых классов групп справедлива теорема В.В. Беляева (1978 г.), сформулированная им для минимальных не FC-групп, совпадающих со своим коммутантом, которая применимо к нашей ситуации будет формулироваться таким образом.

Предложение 8 (В.В. Беляев, [2]) Квазилокалъно-нормалъная группа G либо локально конечна, либо G = (а, 6) и G/Z(G) — простая группа, либо G/Z(G) — бесконечная неабелева группа Шмидта (квазиконечная группа).

В терминологии указанной статьи элементы х иу квазилокально-нормальной группы G а-эквивалентны, если пересечение Сс{х)Г\Сс(у) имеет конечный индекс в Cg{x) и в Сс{у), через ха обозначен сг'-класс, содержащий элемент х.

В ходе доказательства данной теоремы В.В.Беляевым были доказаны следующие два утверждения, которые также используются в диссертации. В них группа G удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме.

Предложение 9 Нецентральные перестановочные элементы из G о-эквивалентны.
Предложение 10 Пусть элемент х из G такой, что \С(х) : Z(G)\ = со, тогда К = ха U Z(G) — подгруппа в G и К — N(K)

Классу квазислойно-конечных групп принадлежат группы Шмидта, или, по принятой в диссертации терминологии, квазиконечные группы.

Предложение 11 (А.И. Созутов, [18]) Для любой пары неединичных элементов а, Ь простой квазиконечной группы G найдется бесконечно много элементов Ь9, таких, что G — {а,Ь9).

Бесконечная группа G называется монстром первого рода, если она обладает элементом порядка > 2, и для любого такого элемента а и любой собственной подгруппы Н группы G в разности G\H найдется элемент д, для которого (а, а9) = G [12][вопрос 6.63]; и монстром третьего рода, если для любой пары неединичных элементов а, Ъ ? G, хотя бы один из которых не является инволюцией, в G найдётся бесконечно много элементов с ?.bG, для которых верно равенство G = (а, Ь9). В частности, каждая простая квазиконечная группа есть монстр и первого, и третьего рода (предложение 11).

1.2 Результаты общего характера

Для вывода основных результатов также понадобятся следующие классические результаты, оформленные в виде предложений.

Предложение 12 (Лемма Цорна, [31]) Если в частично упорядоченном множестве всякая цепь (т.е. всякое линейно упорядоченное множество) имеет верхнюю грань, то в нем существует максимальный элемент.
Предложение 13 (Теорема Шмидта, [11]) Расширение G локально конечной группы А с помощью локально конечной группы В локально конечно.

Предложение 14 (Теорема Пуанкаре, [11]) Если zpynnaG обладает подгруппой конечного индекса, то в ней найдется нормальная подгруппа конечного индекса.

Группа G и её собственная подгруппа Я составляют пару Фробениуса (G, Я), если Я П Н9 — 1 для любого элемента g E G \ Н [15]; следуя Ю.М. Горчакову ("Примитивно факторизуемые группы", 1960 г.), подгруппу Я в этом случае называем также обособленной.

Предложение 15 (Теорема Фробениуса, [6]) Если в конечной группе G найдется подгруппа Н, такая что НП Н9 = Е для любого а € G\ Я, то множество элементов из G, не входящих ни в Н и ни в одну из сопряженных с Я подгрупп, вместе с единицей является инвариантной .подгруппой, Е группы.С^

Предложение 16 [28] Всякое полупрямое произведение FXH двух (конечных нетривиальных) групп F и Н, в котором fh ф hf для любых неединичных элементов f ? F и h € Я, есть группа Фробениуса, причем F — инвариантный, а Я — дополнительный множители Фробениуса.

Подгруппа U группы G называется сильно изолированной в G, если она содержит централизатор любого своего неединичного элемента.

Используя это понятие, нетрудно установить справедливость следующих критериев для группы Фробениуса.

Предложение 17 [41] 1. Конечная группа тогда и только тогда является группой Фробениуса, когда она содержит собственную инвариантную сильно изолированную подгруппу.
Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23528.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.