У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Компоненты скемы модулей полустабильнык пучков ранга два на трекмерной квадрике
Количество страниц
63
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23527.doc
Содержание
Содержание
Оглавление
1. Введение. 3
2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q. 7
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью. 14
4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы Mq(2; 0,2,0). 20
5. Компонента Мо- 34
6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент. 52
6.1. Эллиптическая квартика ЧИ4... 52
6.2. Нормкубика и прямая °С3 и?. ... 57
6.3. Коника и прямые... 60
6.4. Кривые с двойной структурой... 63
Введение.
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Рп, п ^ 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).
Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на /^З-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце
90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.
Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8]
Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, Q, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия Mq(2; 0,2) модулей стабильных векторных расслоений с с\ = 0 и с^ = 2 на гладкой трехмерной квадрике Q. В этой работе доказывается, что многообразие Mq(2; 0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой Q и конструкцией плюккерова вложения грассманиана G(1,P4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия Mq(2; —1,2), Mq(2;—1,3) и Mq(2;0,4), относительно которых выяснено следующее:
Mq(2;—1,2) — локально тривиальное расслоение над Q^ \ Q$ со слоем Р2 \ Qi,
Mq(2;— 1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие,
Mq(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.
Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой от-крытое подмножество неприводимой компоненты Mq(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы Mq(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ = сз = 0, сч = 2.
Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в Mq(2;0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости Mq(2; 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.
Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже.
• Mq(2;0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений Е на Q, с rkE = 2 и классами Черна ci(E) = 0 и С2(Е) = 2.
• Mq(2;0, 2) — замыкание многообразия модулей расслоений Mq(2; 0,2) в схеме Mq(2; 0,2,0).
• Через 3YIq(2;O, 2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q с классами Черна с\ = 0, c
• Пусть х € V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к. Обозначим (х) подпространство кх G P(V).
Известно, что Mq(2; 0,2, 0) не пусто и содержит неприводимую компоненту Mq(2; 0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Mq(2; 0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2.
В работе дается геометрический метод описания компонент схемы Mq(2; 0,2,0). Для этого выясняется, что схема Mq(2; 0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из
Mq(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками.
В работе также доказывается, что Mq(2;0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пе-ресекающую компоненту Mq(2;0, 2) по дивизориальной компо-ненте границы <9Mq(2; 0,2) := MQ(2; 0,2) \ Mq(2; 0,2).
В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также кривые содержащие в качестве компоненты «сдвоенную», прямую.
Основной результат работы заключается в следующих двух теоремах:
Теорема 1. Пусть Е — полу стабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q С Р4, с классами Черна сх(Е) = О, С2(Е) = 2, и сз(Е) = 0. Тогда пучок Е стабилен, и у пучка Е(1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С Q степени четыре.
Теорема 2. В Mq(2; 0,2,0) существует неприводимая компонен-та Mq(2;0, 2)0, которая есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия Мо- Все точки Мо — стабильные пучки, схема Mq(2; 0,2,0) неособа вдоль Мо, и Мо пересекает Mq(2;0, 2) по неприводимому восьмимерному многообразию, ле-жащему в Mq(2;0, 2) , точное описание котрого дается формулой (5.23).
2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q.
Когомологическое кольцо H*{Q, Z) порождено классами гиперплоского сечения [h] G #2(Q,Z), прямой [?] € -fiT4(Q, Z) и точки [р] € #6(Q,Z). Причем умножение в #*(Q, Z) устроено следующим образом:
И2 = 2М, и • И = м-
Следующая лемма дает нам многочлены Черна структурного пучка точки и пары точек на Q
Лемма 2.1. Пусть х и у — две произвольные не совпадающие точки на квадрике Q, тогда:
Доказательство. Заметим, что из точной тройки
0-»ка.->кя:фк1,->-ку-»-0
следует, что Ct(k.x ф ky) = (ct(kx)} . Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка кх ф ку:
О -> OQ(-3) -> 3Oq(-2) -> 3Oq(-1) -> OQ -> кж ф Ц -+ 0.
Получаем:
с,(OQ). с,(3OQ(-2)) - ^(зо^.!)) . Ct(OQ(-3))
12[h}42 - 8И3?3 _ 1 - 6[h]t
12[h]42 - 10[h]4z ~ 1 - 6[h]t
= 1 + 4[p]t3.
Отсюда получаем и ct(kx) = 1 + 2[p]t3. D
На самом деле, имеется более сильный факт:
Лемма 2.2. Пусть S — артинов пучок длинып, тогдаq(S) = 1+ 2n\p}t\
Доказывается лемма индукцией по длине п. Еще одна лемма, дающая нам многочлен Черна структурного пучка и пучка идеалов некоторых кривых на квадрике.
Лемма 2.3. Пусть Cd С Q — кривая степени d — deg Cd и рода О на квадрике Q и п Е Z — целое число, тогда: l)ct{OC4{n)) = 1 - d[i]t2 + (d(2n - 3) + 2)\p]t3, 2)ct(lc
Доказательство. 1) Индукция по степени кривой:
база индукции: d = 1, кривая степени 1 — прямая, вычислим
многочлен Черна структурного пучка прямой. Имеем две точных
тройки
0-> C>pi -*O(p(l) -»0pi(l) ->0, где С2 - коника, и (2.1)
О -> Opi -> C?pi(n) -> ф kXi -> 0, где ж^ - точки. (2.2)
г=0
Вычислим сперва многочлен Черна структурного пучка коники. Для этого запишем его локально свободную резольвенту:
О -> OQ(-2) -+ 2OQ(-l) -> Oq -> Ос72 -> 0. Подкрутив ее на (9q(7T.), получаем:
0 -> 6>Q(n - 2) -> 2OQ(n - 1) -> OQ(n) -> OC2(n) ->> 0,
откуда
(ct(OQ(n - 1)))
(2n - 2)\h]t + (2n2 - 4n)\?]t2 rin 9 , „чг . ч
1 + (2n - 2)[fc]t + (2n2 - 4n
(2.3)
Вспоминая (2.1) и (2.2), получим:
ct(O^{n)) = 1 - [?]t2 + (2n - l)[p]^3-индуктивный переход: Имеем точную тройку:
О -> ОР1 -^ С?с««(1) ~> Oc«f-i(l) -> О, из которой непосредственно получаем
- 1)) ¦
= 1 - d[?]t2 + (rf(2n - 3) + 2) \p]t\
Таким образом утверждение 1) доказано.
Докажем теперь утверждение 2). Имеем точную тройку
О -> XCj,q -+Oq^ Осл -> О, из которой непосредственно получаем:
+ n[h]t)
1 + п[/ф + d[i]t2 - (3d(n - 1) + 2)
П
Нам понадобится также формула для Эйлеровой характеристики пучка ?, доказывать которую мы не будем, так как доказательство есть простое, но длинное вычисление формулы Римана - Роха, которое требует только аккуратности.
Лемма 2.4. Пусть 3 — некоторый пучок на квадрике Q, ранга ткЭ^ = г с классами Черна с^З) = с\, сг(Эг) = с2 w сз(Эг) = сз, тогда
2j+2r +ГС1
n2
+ 3ci - c2 + c? + — r n+
| 2cj - 3cic2 + Зс3 [ 3(
В частности, при гкЭ7 = 2, гшее.м:
(ел + 3)п2 + f 3ci - с2 + cf
2с? - 3cic2 + Зс3 3(tj - с2) 13С1
+ + +
Следствие 2.4.1. Пусть 3 — пучок ранга 2 с классами Черна = 0, с2(Эг) = 1 и сз(Эг) = сз, тогда
Следствие 2.4.2. Пусть У — пучок ранга 2 с классами Черна d(5F) = 0, c2(iF) = 2 и сз(Эг) = сз, тогда
Х(У(1)) = 5 + |.
Также нам понадобится Лемма о неотрицательности третьего класса Черна рефлексивного пучка на квадрике Q ранга 2. Эта лемма является аналогом Леммы 2.6 из [14], там доказывается тот же факт для Р3.
Лемма 2.5. Пусть ? — рефлексивный пучок ранга 2 на Q. Тогда с3(?) = ^(S^^S.Oq)). Го есть с3(?) ^ 0, и с3(?) = 0 тогда и только тогда, когда ? локально свободен.
Доказательство. Здесь, несмотря на то, что факт верен для любого рефлексивного пучка, мы будем рассматривать только пучки с ci(?) = 0, так как именно они нас будут интересовать в дальнейшем.
Замети сразу, что в этом случае (см. [14, proposition 1.10])
?v~?®(det?)-1 = ?. (2.4)
Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка ?. В силу его рефлексивности, она будет иметь длину два:
0 -> ?i ->- ?0 -)• ? -> 0. (2.5) Очевидно следующее соотношение:
„ /е\ с*(?о) /о лч
С((?) = ^)- (2-6)
С другой стороны, имеем двойственную к последовательности (2-5)
0 -> ?v-^> ,CVO -> ?vj -^ ?ж^(?,Оо) -> 0,
из которой, в силу (2.4), следует
где с^(-С^) = c_t(,Ci), в силу локальной свободы пучков ?*, и, по Лемме 2.2, ь(Ы}(е.,Оо)) = 1 + 2n[p]t3, где п = /г0(?я; Таким образом предыдущая формула принимает вид:
Другими словами
+ (2п - с3(?))[р]*3-То есть с3(?) = п = ^(8x^(8,, OQ)). П
В работе мы будем пользоваться приведенным ниже определением спектра рефлексивного пучка ранга два с нулевым первым классом Черна. Подробно спектры рефлексивных пучков описаны в работе Айна и Солса [11]. Приведенная ниже Лемма 2.6 есть несколько упрощенная Теорема 2.2. из вышеуказанной работы.
Лемма 2.6. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0. Тогда существует единственный набор т = с2(?) целых чисел {fci,... km},называемый спектром пучка ?, удовлетворяющий следующим свойствам:
Пусть ? = ф <9pi(fci)
1) a) /i1(?(n)) = Н°(Цп + 1)) для всех п < -1. б) h2(E(n)) = Ь}(Цп-\-1)) для всехп ^ -2.
2) а) Если некоторое число к > 0 лежит в спектре, то и все
числа 0,1,..., к — 1 тоже лежат в спектре.
б) Если некоторое число к < 0 лежит в спектре, то и все числа — 1, —2,..., к + 1 тоже лежат в спектре.
4) Если ? — векторное расслоение, то {—ki — 1} =
Доказательство см. [11, стр. 19]
Следующая лемма дает нам все возможные спектры интересующих нас пучков
Лемма 2.7. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0 и сг(?) = 2. Тогда есть ровно три возможных различных спектра ?:
1) {0,1}, ес/ш с3(?) = 4,
2) {0,0}, ес/шс3(?) = 2, 5; {0,-1}, ес/ш с3(?) = 0.
Доказывается Лемма простым перебором.
Лемма 2.8. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0 и С2(?) = 1. Тогда его спектр равен {0}, а сз(?) = 1.
Доказывается Лемма также простым перебором.
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство
расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью.
Оттавиани и Шурек в [24] показали, что любое расслоение Е на квадрике Q с ci(E) = 0 и сг(Е) = 2 является когомологией следующей монады:
где / : Oq(-I) -> 4Oq и д : 4(9q ->• Oq(1) — линейные отображения с матрицами А и Вт соответственно, где А, 1? ? Ма^Х4(к), и АВТ кососимметрическая 5 х 5-матрица. Если АВТ ? V4 \ G, то точка (х), где х — решение систем Атх = О и Втх = 0 попадет на квадрику, и мы будем иметь последовательность точную, везде, кроме второго члена:
Пусть С Э 0 — гладкая кривая, для которой заданы отображения f: С -> Ма?бх4(к) : t ь-> At и 0 : С ->¦ Ма*5х4(к) :ty-+Bt такие, что .A*i?7 — кососимметрические матрицы. То есть f) : С —)¦ Р9 \ G : t ь* (Л^В4Т) — корректно определенное отображение. Пусть также f и g таковы, что f) — вложение, причем Ро = f)(0) G V4 \ G и кривая J)(C) пересекает V4 в точке Pq ? G трансверсально. Нетрудно видеть, что такая тройка (С, f, q) всегда найдется. Отображения f и 0 могут быть заданы морфизмами f : Oq(—1) Kl
Ос и- 4Oqxc и g : 4<9qX(7 »->• ^q(I) И Ос- Рассмотрим Q х С, из (3.1) получим следующую последовательность, также как и (3.2) точную во всех членах, кроме второго:
где Аох = Вох = О, х G Qo, %о = (я, О) е Q х С, и Е := kerg/imf — пучок на Q х С. Пусть Е* = Е® 6>q4, где Qt = Q x {t} С Q х С.
Предложение 3.1. 1) Пучки Ео г* ?о связаны следующей точной последовательностью: 0 —> Ео —>¦ во -> кх —>• О #,) Семейство {Е^} — плоское над С.
Доказательство. Рассмотрим дисплей последовательности (3.3):
О 0 (3.4)
О—*Oq(-1)HOc---kerg-----Е----О
О—*Oq{-1)MOc—-4<9qxc7—-cokerf
I I
img
0 0
и точную последовательность:
0—-imfl—^Oq(I) HC?c—"k*o—"°' (3-5)
где (3.5) —просто вторая часть последовательности (3.3). Умножим (3.5) тензорно на Oq0 (Qo := Q x {0} и ®Oq0 := <8)Oq № k{0}),
и, заметив, что Qo — Q, получим точную последовательность:
... -> Тог2(кЖо, Oq0) -» Ton(im0, Oq0) -»-
-+ Ton(OQ(l) В Ос, Oq0) -> Tontk^, OQJ ->
>i!Lx-i'Q. (3.6)
Заметим далее, что Тог>2(кх0. ^Qo) = ° и Tori(OQ(l) В Ос, <9q0) = О, тогда первая часть последовательности (3.6) примет вид:
О -> Ton(imfl, GQo) -)> 0, откуда Tori(im0, Oq0) = 0. (3.7) Рассмотрим стандартную точную последовательность:
0 -> Ос(-{0}) -А Ос ^ ко -+ 0. (3.8)
Если С — аффинная кривая, то все дивизоры на С линейно эквивалентны нулю, и Ос(—{0}) = Ос- Тогда умножая последовательность (3.8) на Oq0, получим последовательность:
0 -> Oqxc -» Oqxc -> Oq0 -> 0.
Умножая ее тензорно на к^ и заметив, что Tori(OQXc,kXo) = 0, получим:
0 -> Ton(OQ0, кхо) -^ кхо ^^ кхо ^-> кхо -> 0.
Зная, что c*i сюръективно, получим что а\ = id, поэтому ач = 0, откуда аз = id, следовательно Tori(OQ0,ka;0) = kXo. Далее, вспоминая (3.6), получим точную последовательность
Умножив вторую вертикальную точную последовательность из дисплея (3.4) на Oq0 и вспомнив что Tori(img, Oq0) = 0 (3.7), получим:
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23527.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.