У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля
Количество страниц
52
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23525.doc
Содержание
Содержание
Введение 4
Топологическая размерность Крулля 12
1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей... 12
2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства... 13
3 Топологическая TV-размерность. Критические модули... 17
4 Бесконечная прямая сумма замкнутых подмодулей ... 19
5 Топологическое кольцо полиномов... 22
6 Топологический аналог леммы Леиагана ... 23
3 Топологический радикал Бэра и топологическая размерность Крулля 26
1 Определение топологического радикала Бэра... 27
2 Топологическая точность... 28
3 Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического PI-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем ... 31
4 Топологический радикал Бэра топологического Р/-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем... 35
5 Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля... 38
6 Топологические Р/-кольца, обладающие топологически точными модулями с топологической размерностью Крулля... 41
Литература 52
Введение
Областью исследования диссертационной работы является "теория топологических колец и модулей". Теории топологических колец посвящены такие работы как [1], [12], [13].
Цель работы — построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля, а также применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец.
Актуальность темы диссертации. Многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов.
В [11], Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нетеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нетеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размер-
ность Крулля, строго больше, чем класс всех нетеровых колец даже в случае коммутативных колец. Методы, используемые при рассмотрении колец с размерность Крулля, аналогичны методам, используемым для получения результатов в теории артиновых колец. Обзор результатов по размерности Крулля можно найти, например, в работе Гордона и Робсон [3].
Теория размерности Крулля усилиями различных авторов (Леиаган, Рен-члер, Габриэль, Лемоньер, Гордон, Робсон и другие) получилась весьма содержательной. В теории кручений существует обобщение размерности Крулля на случай относительной размерности Крулля, например в [27]. Но это частный случай, так как топология относительно кручения является линейной топологией.
В данной работе автором предлагается обобщение понятия размерности Крулля на топологический случай. Топологическая размерность Крулля топологического модуля определяется как девиация частично упорядоченного множества всех замкнутых подмодулей с упорядочением по включению. Аналогичным образом определяется правая и левая размерность Крулля топологических колец.
В предлагаемой работе построена теория топологической размерности Крулля. В качестве проверки жизнеспособности этой теории в данной работе исследуется топологический радикал Бэра колец либо с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулями с топологической размерностью Крулля.
Для изучения топологических колец используются различные нильрадикалы. Топологическому локально-нильпотентному радикалу посвящены работы Махарадзе [20], [21]. Водинчар рассматривал максимальный над-нильпотентный радикал ([17]). Арнаутов ([14]) и Урсул исследовали топологический радикал Бэра.
В данной работе рассматривается только один радикал, а именно, топологический радикал Бэра, а также различные свойства Е-нильпотентных
идеалов.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Среди них:
• Построение теории топологической размерности Крулля для топологических колец и модулей.
• Доказательство топологической нетеровости кольца коэффициентов, если соответствующее полиномиальное кольцо имеет топологическую размерность Крулля.
• Топологический аналог теоремы о конечности прямой суммы подмодулей модуля, имеющего размерность Крулля.
• Топологический аналог леммы Ленагана.
• Топологическая дуальная размерность Крулля.
• Определение топологически точного модуля. Исследование взаимосвязи между топологической точностью и обыкновенной точностью, а также свойств топологических модулей, являющихся топологически точными.
• Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен.
• Исследование топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля.
• Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории топологических колец и модулей.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули", на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры в Москве.
Список публикаций по теме диссертации из 3-х работ приведен в конце рукописи.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений, утверждений и теорем привязана к своей главе, а нумерация примеров сквозная. Полный объем диссертации — 54 страницы, библиография включает 27 наименований.
Краткое содержание. В первой главе строится теория топологической размерности Крулля колец и модулей.
Топологическая размерность Крулля для топологического модуля М, которую будем обозначать через top К dim M, определяется как девиация множества всех замкнутых подмодулей модуля М. Левой (правой) топологической размерностью Крулля топологического кольца R называется топологическая размерность Крулля левого (правого) /2-модуля R. Далее рассматриваются некоторые свойства топологических модулей с топологической размерностью Крулля, например, приводится достаточное условие того, когда модуль не имеет топологической размерности Крулля. Вводятся понятия критического модуля, дуальной топологической размерности Крулля, топологической нётеровости модуля. Так же как в дискретном случае справедливо, что топологически нетеров модуль имеет топологическую размерность Крулля. Выясняется, что модуль имеет топологическую размерность Крулля тогда и только тогда, когда он имеет дуальную топологическую размерность Крулля. Доказывается, что если М — топологический модуль, а N является его замкнутым подмодулем, и если N и M/N имеют топологическую размерность Крулля, то top К dim M =
sup{ top К dim M/N, top К dim N }. Показывается, что если
В дискретном случае модуль, имеющий размерность Крулля, не содержит никакую бесконечную прямую сумму подмодулей (см. [3]). Рассматривается аналог этого утверждения для топологических модулей. Существует топологический модуль, обладающий топологической размерностью Крулля, который содержит бесконечную прямую сумму замкнутых подмодулей. Но верно следующее похожее утверждение с дополнительным условием на бесконечную сумму
Теорема 1.1. Пусть топологический R - модуль М имеет топологическую размерностью Крулля. Тогда не существует бесконечной прямой
суммы замкнутых подмодулей ф Л{ в М таких, что А{ П \А\ + ... + Ai + ...] = 0, г е N.
Определим в кольце полиномов R[x] базис окрестностей нуля как семейство множеств вида Вщх] = {U(V,ri)}VeT(R)tn&ii где U(V,n) = {/ G
R[x] | 3v0,..., Vn-г GV,ge xnR[x] : / = E vkxk + g}.
Теорема 1.2. Пусть R - топологическое кольцо. Если топологическое кольцо R[x] с вышеопределенной топологией, имеет левую топологическую размерность Крулля, то кольцо R - топологически нетерово слева.
Доказывается топологический аналог леммы Ленагана ([8]).
Лемма 1.3. Пусть В\ С ??2 Q • ¦ • и Mi Э M
оо
мерностью Крулля, и (J В{ — М. При этом для любых трех замкнутых
г=1
подмодулей А, В, С : А Э В =>• А П [В + С] = [В + А П С]. Тогда найдутся
такие натуральные числа i,j, что М{ С [Mj+i +
Вторая глава диссертации посвящена изучению топологического радикала Бэра либо колец с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулем с топологической размерность Крулля.
Пусть R — топологическое кольцо, тогда идеал / называется ?-нильпотентным идеалом, если для любой окрестности нуля V кольца R существует такое натуральное п, что 1п С V. Напомним определение топологического радикала Бэра. Для каждого порядкового 7 определим замкнутое множество IZy(R). Положим TZq(R) = 0. Пусть уже определены все TZa{R) для каждого порядкового а < (5. Тогда IZp(R) определим следующим образом: если (5 - предельное, то TZ^R) = [ (J 7Za(R)], иначе существует по-
рядковое (3 — 1, в этом случае 1Zp(R) представляет собой замыкание суммы всех идеалов N, таких что фактор N/1Zp-i(R) является Е-нильпотентным. Существует такое порядковое г, что для любого порядкового числа ^ > 6 справедливо 7Z7(R) = 7ZT(R). Идеал C{R) = 1ZT{R) называется топологическим радикалом Бэра.
Для каждой окрестности нуля W топологического Д-модуля М введем следующее обозначение Апп(М, W) = {х ? R : хМ С W}. Назовем топологический 7?-модуль М топологически точным, если для любой окрестности нуля V в R существует такая окрестность нуля W в М, что V D Ann(M, W). Доказывается, что в любой топологии топологически точный модуль является точным. Для топологического модуля над бикомпактным кольцом понятия точности и топологической точности совпадают. Также показывается, что в общем случае понятия точности и топологической точности различны.
Рассматривается топологический аналог теоремы из статьи В.Т. Маркова [18], утверждающей, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен.
Теорема 1.4. Если топологическое PI-кольцо R обладает топологически нетеровым топологически точным R-модулем М, то замыкание суммы
всех И-нильпотеитпых идеалов 7l(R) будет Т,-нилъпотентным идеалом.
Предложение 1.5. Если N - замкнутый топологически Т,-нильпотент-ный идеал ограниченного топологического кольца R и фактор-кольцо R/N является Yl-нилъпотентым, то само кольцо R также Ti-нильпотентпо.
Показано, что S-нильпотентпый идеал не обязан быть ограниченным. Также на примере показано, что существует топологическое кольцо R, а в нем идеал N и идеал /, содержащий N, такие что N и фактор I/N Е-нильпотентны, а / не является Е-нильпотентным.
Теорема 1.6. Если топологическое ограниченное PI-кольцо R обладает топологически нетеровым и топологически точным R-модулем М, то топологический радикал Бэра ?(R) будет топологически нильпотентным.
Рассматриваются топологически идемпотентные идеалы в топологическом радикале Бэра.
Теорема 1.7. Пусть топологическое кольцо R обладает топологическим левым модулем М с топологической размерностью Крулля. Тогда если левый идеал J — топологически идемпотентен, то есть [J2]j = J, и содер-о/сится в топологическом радикале Бэра, то JM = 0.
Теорема 1.8. Топологический радикал Бэра кольца, имеющего топологическую размерность Крулля, не codepoicum односторонних непулевых топологически идемпотентных идеалов.
Следствие 1.9. Топологический радикал Бэра топологического кольца с топологической размерностью Крулля не содерэюит единицу.
Заметим, что в общем случае топологический радикал Бэра даже может содержать единицу (см. [16]).
В заключении рассматривается топологический аналог теоремы из статьи Маркова В.Т. о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.
Теорема 1.10. Пусть топологическое Р1-%олъцо R обладает топологически точным модулем М с не более чем счетной топологической N-размерпостъю и для этого модуля выполняются следующие два условия:
(1) если Р-И-нильпотентный идеал кольца R, то для всякой окрестности нуля W в М найдется натуральное число т, такое что РпМ С W;
(2) для любых трех замкнутых подмодулей А, В, С, таких что AD В, верно АП[В + С\ = [В + АПС].
Тогда замыкание суммы всех И-пильпотентных идеалов кольца R является также И-нильпотентиым идеалом.
Поясняются ограничения в последней теореме.
Теорема 1.11. Пусть для ограниченного кольца R выполняются условия предыдущей теоремы. Тогда топологический радикал Бэра этого кольца S-нильпотентен.
Существует пример, показывающий существенность дополнительного условия (ограниченности кольца) в последней теореме, так как существует кольцо, для которого верны все условия из предпоследней теоремы, но топологический радикал Бэра этого кольца не только не является Е-нильпотентным, но и пересечение всех степеней этого радикала не равно нулю.
Автор выражает свою глубокую благодарность своему научному руководителю, к.ф.-м.н., доценту Маркову Виктору Тимофеевичу за постановку задачи, постоянное внимание и всестороннюю поддержку.
Глава 2
Топологическая размерность Крулля
1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей
На протяжении всего изложения в диссертационной работе будем придерживаться терминологии, приведенной в [13].
Определение. Абелева группа А называется топологической абелевой группой, если на А задана топология и отображение (а, 6) н—> a — b топологического пространства А х А на топологическое пространство А непрерывно.
Определение. Топологическое кольцо — это ассоциативное кольцо, являющееся хаусдорфовым пространством, в котором операции кольца непрерывны, то есть удовлетворяют следующим условиям (где R — кольцо):
а) отображение (а, Ъ) н-> а — Ь топологического пространства их Дна топологическое пространство R непрерывно;
б) отображение (а, Ъ) \—> аЪ топологического пространства R x R на топологическое пространство R непрерывно.
Идеалом топологического кольца будем считать двусторонний, не обязательно замкнутый, идеал.
Определение. Пусть R — топологическое кольцо. Левый Л-модуль М называется топологически левым Я-модулем, если на множестве М задана то-
пология, относительно которой М является топологической абелевой группой, и выполняется следующее условие: отображение (г,т) *-> гт из топологического пространства R х М в топологическое пространство М непрерывно.
Далее везде под топологическим Д-модулем будем подразумевать топологический левый Д-модуль.
Через т{Х) будем обозначать множество всех окрестностей нуля топологической абелевой группы X.
Если л" — факторное отображение из М в M/N, где М — топологический модуль, а N — замкнутый подмодуль этого модуля, то топология на M/N определяется следующим образом: множество А является открытым в M/N тогда и только тогда, когда прообраз тг"~1(А) открыт в М.
2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства
Гордон и Робсон в своей работе [3] размерность Крулля для модулей и колец определили следующим образом:
Определение. Размерность Крулля (К dim М) Д-модуля М определяется при помощи трансфинитной индукции:
1) если М = 0, то К dim M — -1;
2) если KdimM
3) если не существует порядкового числа а, такого что KdimM = а, то тогда модуль М не имеет размерности Крулля.
Определение. Размерностью Крулля кольца R называется размерность Крулля правого Я-модуля R.
В диссертационной работе предлагается некоторый топологический вариант этого понятия, а также изучаются топологические модули и кольца, имеющие топологическую размерность Крулля.
Напомним определение девиации. Пусть L - частично упорядоченное множество. Введем следующее обозначение, если элементы а, Ъ принадлежат L, то
[а, Ь) := { х 6 L \ а ^ х ^ Ь }
Определение. Девиация множества L, которая обозначается как dev L, определяется по индукции следующим образом:
1) если L = О, то devL = —1;
2) если dev L ^ а и для любой убывающей последовательности {xn}'^L1 элементов из L найдется натуральное число iV такое, что для любого натурального п большего iV выполняется dev[xn+i,xn] < а, то dev L = а;
3) множество L не имеет девиации, если не существует порядкового числа а, для которого dev L = а.
Нетрудно заметить, что если в качестве упорядоченного множества L рассмотреть множество всех подмодулей модуля М, включая и сам модуль, с упорядочением по включению, то KdimM = dev L.
Предлагается следующее определение топологической размерности Крулля. Под топологической размерностью Крулля модуля М мы будем понимать девиацию множества всех замкнутых подмодулей модуля М и будем обозначать её как top К dim M. Это определение можно переформулировать следующим образом.
Определение. Пусть М - топологический Я-модуль. Топологическую размерность Крулля [top К dim M) определим при помощи трансфинитной индукции:
1) если М = 0, то top К dim M - -1;
2) top К dim M = а, если top К dim M ? а и не существует бесконечной
убывающей цепочки замкнутых подмодулей М = Mq Э М\ D ... такой, что top К dim(Mi-i/Mi)
3) если не существует порядкового а, такого что top К dim M = а, то тогда считаем, что модуль М не имеет топологической размерности Крулля.
Определение. Определим для топологического кольца R левую (правую) топологическую размерность Крулля / top К dim R (r top К dim R) как топологическую размерность Крулля левого(правого) Я-модуля R, то есть / top К dim R := top К dim rR (г top К dim R := top К dim Rr) .
В дискретном случае понятия топологической размерности Крулля и просто размерности Крулля совпадают. Если модуль имеет обычную размерность Крулля, то он в любой топологии имеет топологическую размерность Крулля. Но в общем случае может быть так, что топологический модуль обладает топологической размерностью Крулля, но не имеет обычной размерности Крулля.
Пример 1. В качестве такого модуля М рассмотрим пространство всех действительных чисел R над кольцом целых чисел R = Ъ. Легко проверяется, что модуль М действительно является топологическим над R. Пусть в - трансцендентное число, тогда М содержит прямую сумму подмодулей вида Ъ6п, где п - натуральной число. Следовательно модуль М не имеет обычной размерности Крулля (f3j,1.4)- Любой замкнутый подмодуль данного модуля М имеет вид аЪ для некоторого действительного числа а (см. [13], §1.4)- Если a{L С а{1> для некоторых действительных чисел ai,u2, то ^ Е Z и следовательно фактор-модуль а\Ца{Ь содержит конечное число элементов. Поэтому top К dimM = 1.
Из определения топологической размерности Крулля очевидным образом получается
Предложение 2.1. Если в топологическом модуле М содержится убывающая цепочка замкнутых подмодулей Mq Э М\ Э М2 2 • • •; таких что
фактор-модуль Mi-\/Mi топологически изоморфен самому модулю М, тогда модуль М не имеет топологической размерности Крулля.
Пример 2. Пространство непрерывных функций на отрезке [О,1] не имеет топологической размерности Крулля. Достаточно рассмотреть убывающую цепочку из подпространств Vo Э V\ ~Э V
В дальнейшем нас будет интересовать не само значение топологической размерности Крулля, а те свойства, какими обладают топологические кольца и модули, имеющие топологическую размерностью Крулля.
Следующие свойства топологических модулей с топологической размерностью Крулля, являются топологическими аналогами дискретного случая.
Предложение 2.2. Если М — топологический модуль, а N является его замкнутым подмодулем и если N и M/N имеют топологическую размерность Крулля, то
top К dim М = max{ top К dim M/N, top К dim N }.
Доказательство. Из определения топологической размерности Крулля следует, что
top К dim M ^ max{ top К dim M/N, top К dim N }.
Пусть множество Е состоит из всевозможных пар (А, В), где А является замкнутым подмодулем модуля N, а В является замкнутым подмодулем фактор-модуля M/iV. Определим на множестве S порядок следующим образом: пусть (Ai,Bi), (Л2,В2) G Е, тогда считаем, что (Ai,Bi) < (А2,В2) тогда и только тогда, когда А\ С Л2 и В\ С В\.
Сопоставим каждому замкнутому подмодулю Р модуля М пару (Р Г) N, (Р + N)/N) из Е. Заметим, что Р П N и (Р + N)/N, топологически изоморфный замкнутому подмодулю фактор-модуля Р/Р П N, замкнуты в N и
M/N соответственно. Очевидно, что если для двух подмодулей выполняется Pi С Р2> то
(Pi П Nt (Pi + N)/N) < (Р2 П iV, (P2 + N)/N)
Докажем теперь обратное. Пусть PidN С P2rW и (Pi+N)/N С {P2+N)/N, то есть Pi С Р2 + N. Докажем, что тогда Pi С Р2-
Pi С Pi П Pi С Pi П (Р2 + N) По свойству модулярной решетки
Pi П (Р2 + JV) С Pi П Р2 + Pi П iV С Р2 + Р2 П JV С Р2
Итак, частично-упорядоченное множество всех замкнутых подмодулей модуля М изоморфно некоторому подмножеству частично-упорядочешюго множества S. Поэтому top К dim M ^ devTl. Тогда используя свойство Ь) из статьи [11], получаем, что S = max{ top К dim N, top К dim M/N }. Следовательно
top К dim М < max{ top К dim N, top К dim M/N }.
Следствие 2.3. Пусть (р - непрерывный гомоморфизм из топологического кольца R в топологическое кольцо R'. Тогда, если кольцо R имеет топологическую размерность Крулля, то top К dim(p(R) ^ top K'dimR.
Доказательство. Так как ip - непрерывное отображение, то ker (p - замкнутый идеал кольца R. Тогда R/kev
3 Топологическая iV-размерность. Критические модули
В дискретном случае достаточно полезными являются такие понятия как критический подмодуль, дуальная топологическая размерность Крулля, или
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23525.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.