У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Исследование движения систем Гельмгольца с Бесконечным числом степеней свободы
Количество страниц
97
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23169.doc
Содержание
Содержание
Оглавление
Обозначения и терминология 3
Введение 6
1 О существовании действия по Гамильтону для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы с производной второго порядка по времени 12
1.1 Необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме... 12
1.2 Прямой подход к вариационным формулировкам уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы ... 18
1.2.1 Критерий существования действия по Гамильтону для заданных уравнений движения... 18
1.2.2 Структура уравнений движения потенциальных систем
с бесконечным числом степеней свободы... 23
1.2.3 Примеры... 29
1.2.4 Комментарии... 33
1.3 Косвенные подходы к вариационным формулировкам уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы ... 35
1.3.1 Зависимость аналога условий потенциальности Гельм-гольца от выбора билинейной формы... 35
1.3.2 О существовании вариационного множителя для заданных уравнений движения с производной второго порядка
по времени... 46
1.3.3 Примеры... 48
2 Симметрии действия по Гамильтону и первые интегралы
уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы 54
2.1 Условие инвариантности действия по Гамильтону и общий вид первого интеграла уравнения движения со второй производной
по времени... 54
2.2 Свойства генераторов симметрии до дивергенции... 60
2.3 Закон сохранения энергии и принцип стационарного действия Якоби... 65
2.4 Вариационные симметрии и симметрии уравнения движения . 66
2.5 Примеры... 68
3 Свойства движений систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых уравнениями с производной первого порядка по времени 77
3.1 Уравнения движения с производными первого порядка по времени и их уравнения в вариациях... 77
3.2 Метод показателей Ковалевской нахождения частных решений заданных уравнений движения с производной первого порядка
по времени... 87
3.3 Примеры... 90
Заключение 95
Список литературы 97
Обозначения и терминология
1. Системой с бесконечным числом степеней свободы называется материальная система, состояние которой не может быть определено конечным числом обобщенных координат.
2. Системами Гельмгольца называются системы, уравнения движения которых непосредственно или с помощью множителей представляются в форме уравнений Эйлера-Лагранжа или Гамильтона.
3. R — поле действительных чисел.
4. Rm — m-мерное евклидово пространство точек (ж1, ...,хт).
5. Знак V означает "для всякого", "для любого".
6. Запись i = l,n означает, что величина г принимает целые значения от 1 до п.
7. и - функция или вектор-функция с составляющими иг (г = 1, п). Из текста будет ясно, о чем идет речь в том или ином случае.
8. D(N) - область определения, R(N) - область значений оператора N. Линейность оператора iV означает, что
N{XlUl + A2u2) = XxNu1 + \2Nu2 VAbA2 ЕЕ, \fu\u2 eD(N).
9. D(N, В) = {и : и G D(N) П D(B)}, RN{B) = {Bu : u? D(N,B)}.
10. N* ~ сопряженный относительно заданной билинейной формы оператор, iY"1 - обратный оператор, / - единичный оператор.
11. N'u ~ производная Гато оператора N в точке и ? D(N).
12. Puh - линейный по h оператор, произвольным образом зависящий от и.
3
13. Dt — полная производная по переменной t.
14. д - оператор взятия частной производной (частная производная).
15. дп = д^ / (dxl)ai ...(дхт)°т - частная производная, соответствующая мультииндексу а; |а| = Y^Li ai-
иа(х) = даи(х).
16. U — область, открытое связное множество в Rm с кусочно гладкой границей Ш, О — замыкание Q в IRm.
17. Ф(-, •) : V х U —> R - билинейная форма.
Классические билинейные формы - это билинейные формы вида
} г п
Ф(и,у) = / / У^ иг(х, t) • уг(х, t) dx dt.
to ft i=l
18. Ck(Q) (Ск(п)) — множество функций, непрерывных в области Q (12) вместе со всеми частными производными до к-ro порядка.
19. Запись и G Cs([to,t\],Ui) означает, что функция и : [^o^i] —> U\ непрерывна со всеми производными до 5-го порядка включительно.
20. Если Qt - некоторая область в пространстве переменных (я1, ...,#'",?), то Cp'4(Qt) ~ это класс функций, которые на множестве Qt имеют все непрерывные производные по х1, ...,хт порядка < р и непрерывные производные по t порядка < q.
21. Класс функционалов Эйлера-Лагранжа, или эйлеров класс функционалов, Em'n's - это множество интегральных функционалов, определенных формулами вида
F[u] = / f(x,ua(x))dx,
п
где х = (х1, ...,хт), и(х) = (u1(x),...,un(x)), a E Z^; s - наивысший порядок производных, входящих в подынтегральное выражение.
22. В работе принято стандартное правило тензорного исчисления: по повторяющимся индексам сомножителей, расположенных на разных уровнях, подразумевается суммирование. Пределы изменения индексов будут ясны из текста.
23. Работа состоит из трех глав, главы состоят из параграфов, некоторые параграфы - из пунктов.
В номере формулы {М.К) первое число (М) означает номер главы, второе (Л") - номер этой формулы в главе М.
Аналогично "параграф М.К" (или "теорема М.К") означает, что это -параграф (или теорема) с порядковым номером К из главы М.
Введение
Системы Гельмгольца являются обобщениями гамильтоновых и лагран-жевых систем и возникли в результате распространения методов гамильто-новой механики на случай механических систем при более широких предположениях относительно сил и связей, а также систем различной физической природы.
В 1886 г. Г. Гельмгольц [18] получил необходимые условия представимости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в форме уравнений Эйлера - Лагранжа, а Г.К. Суслов [52] и А. Майер [G2] доказали, что эти условия являются также и достаточными.
В работе P.M. Сантилли [64] изложены способы построения обобщенного лагранжиана для уравнений движения достаточно общего вида
, q,t)=Q (//, v = 1,..., n).
Изучению систем Гельмгольца с конечным числом степеней свободы посвящены работы А.С. Галиуллина [15, 16].
Вопросы представления уравнений движения механических систем в виде уравнений Эйлера-Лагранжа тесно связаны с обратными задачами вариационного исчисления, две ветви которых на протяжении длительного периода времени развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца и была направлена на решение задач классической механики. Начало второй ветви было положено В. Вольтерра и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов.
В рамках современного вариационного исчисления классической обратной задачей вариационного исчисления (ОЗВИ) считается задача о построении интегрального функционала, уравнения экстремалей которого совпадают с заданными уравнениями движения.
Рассматриваемые в настоящей работе вопросы тесно связаны со следующей постановкой ОЗВИ, обобщающей ее классическую постановку.
Дано уравнение движения системы с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени и краевые условия. Требуется построить действие по Гамильтону, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений исходной задачи.
Под задачей построения действия по Гамильтону для уравнения некоторой заданной модели в общем случае имеют в виду построение функционала, содержащего производные от неизвестной функции более низкого порядка, чем в исходном уравнении. В практическом плане это повышает устойчивость численных методов, сокращает объем вычислений (молено выбирать более короткий ряд Ритца (см. [39])).
Эта постановка ОЗВИ, в свою очередь, обобщает известную в классической механике обратную задачу Гельмгольца. Последняя состоит в том, чтобы построить функцию Лагранжа (лагранжиан) по заданным уравнениям движения, являющимся ОДУ второго порядка.
В работе В. Вольтерра [70] были найдены условия потенциальности операторов, а в дальнейшем [71] получена и формула для построения интегрального функционала. Изложение этого подхода в рамках теории потенциальных операторов имеется в монографии М.М. Вайнберга [10].
Условия потенциальности для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы, являющихся дифференциальными уравнениями с частными производными (ДУЧП) были получены рядом исследователей. Для общего нелинейного ДУЧП второго порядка аналог условий Гельмгольца был получен И.М. Рапопортом [38]. Соответствующее обобщение на случай нелинейного ДУЧП четвертого порядка дано В.И. Заплатным [21], а для общей системы ДУЧП произвольного конечного порядка- В.Л. Бердичевским [3, 4].
В последующем Э. Тонти [67], используя подход В. Вольтерра, получил аналог условий потенциальности Гельмгольца для различных классов дифференциальных уравнений и этим установил связь между двумя ветвями исследований по классической ОЗВИ.
Общим для перечисленных работ является то, что в них исследуется потенциальность дифференциальных операторов с частными производными только относительно классической билинейной формы вида
Г п
и, следовательно, полученные в них аналоги условий Гельмгольца соответствуют этому частному случаю.
В случае невыполнения условий потенциальности Гельмгольца получили развитие методы построения действий по Гамильтону, не принадлежащих эйлерову классу функционалов, и эквивалентных уравнений, допускающих представление в виде уравнений Эйлера-Лагранжа.
Например, в работе Ф. Бампи и А. Морро [57] получен аналог условий Гельмгольца для системы ДУЧП второго порядка при исследовании на потенциальность относительно билинейной формы
= / v(x,t) ¦ д(х,Т — t)dxdt. о a
М.З. Нэшд [63] и А.Д. Ляшко [28] независимо предложили обобщение операторного критерия потенциальности Вайнберга, введя симметризующий оператор В. В дальнейшем метод исследования операторов на В - потенциальность относительно локальных билинейных форм был развит в работах Ф. Мэгри [61], В.М. Савчина [41] и Э. Тонти [69].
В монографии В.М. Филиппова [54] в случае нелокальных билинейных
форм вспомогательный оператор В строится в виде В = (iV^)"1 С, где С - произвольный линейный симметрический оператор, определенный на D{C) Э D{N).
Еще одним способом построения косвенных вариационных формулировок является нахождение для заданного непотенциального оператора N вспомогательного оператора Ми такого, что уравнение MuN{u) = 0 допускает представление в форме уравнения Эйлера-Лагранжа.
В случае нелокальных билинейных форм Э. Тонти [68] предложил искать вариационный множитель в виде Ми = (N'U)*C, где С - произвольный линейный обратимый оператор, заданный на D(C) Э R(N).
В монографии В.М. Савчина [41] найдены условия, которым должен удовлетворять вариационный интегрирующий оператор Ми. Показано также, что Ми может иметь вид обычного множителя (для системы уравнений это будет матричный множитель), для отыскания которого в случаях интегро-дифференциальных уравнений в частных производных (ИДУЧП), ДУЧП могут быть использованы соответствующие аналоги условий потенциальности Гельмгольца.
Широкое распространение и систематическое использование вариационных принципов в математике, механике, теоретической физике обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок [55]:
• в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решения исходного уравнения;
• в приложениях важной является возможность получения устойчивого приближения решения рассматриваемого уравнения так называемыми вариационными методами;
• на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.
В связи с этим большое внимание уделяется отысканию симметрии действия по Гамильтону, их взаимосвязи с симметриями соответствующих уравнений Эйлера - Лагранжа и их первыми интегралами.
Для функционалов из общепринятых классов Эйлера - Лагранжа связь симметрии с законами сохранения была установлена в работе Э. Нетер [31]. Хотя классическая теория симметрии была создана еще Софусом Ли, ее широкое применение началось относительно недавно. В то время как основополагающие идеи и результаты С. Ли, касающиеся групп преобразований, были впоследствии разработаны в многочисленных работах, дифференциальные уравнения остались практически позади от этого развития. Первые после работ Ли систематические попытки применить теорию Ли к механике сплошной среды были сделаны Л.В. Овсянниковым [34] и Н.Х. Ибрагимовым
Интегралы уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы имеют многочисленные применения. Например, они используются для доказательства единственности классических решений ДУЧП (см. [53]). В работе П. Лакса [60] законы сохранения применены для доказательства существования волновых решений уравнения Кортевега-де Фриза.
Известно [17], что если исходное ОДУ второго порядка является уравнением Эйлера - Лагранжа для некоторого интегрального функционала, то при условии невырожденности лагранжиана можно понизить порядок уравнения, а именно, представить его в виде канонических уравнений Гамильтона. Для систем с конечным числом степеней свободы А. Пуанкаре установил взаимосвязь первых интегралов и решений канонических уравнений Гамильтона, их
уравнении в вариациях и уравнении, сопряженных к уравнениям в вариациях. Аналогичные вопросы для систем с бесконечным числом степеней свободы были исследованы В.М. Савчиным [41].
В классической механике, теоретической физике гамильтонов формализм служит основой для анализа многочисленных систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Это отражено, в частности, в работах В.Г. Вильке [12], B.C. Новоселова [33], Ю.Г. Павленко [36] и др.
Многочисленные задачи с распределенными параметрами приводят к необходимости обобщения изложенных выше подходов на случай систем с бесконечным числом степеней свободы, состояние которых описывается ДУЧП, ИДУЧП и др. типами уравнений и систем уравнений. Этому и посвящена настоящая диссертация.
Первая глава посвящена исследованию задачи существования действий по Гамильтону для весьма общего класса уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы.
В первом параграфе данной главы сочтено целесообразным изложить основы вариационного исчисления в операторной форме.
Во втором параграфе найден аналог условий потенциальности Гельмгольца для общего эволюционного оператора со второй производной по времени. В случае, когда заданные уравнения движения систем с бесконечным числом степеней свободы допускают прямую вариационную формулировку, дается формула для построения соответствующего действия по Гамильтону. Определена общая структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.
Особое внимание уделено косвенным подходам к интегральным вариационным формулировкам уравнений движения непотенциальных систем. В связи с этим в третьем параграфе настоящей главы получен аналог условий В-потенциальности при рассмотрении билинейной формы со сверткой. Как и в случае классической билинейной формы, построено действие по Гамильтону и определена структура уравнений движения Б-потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы. Изучен также вопрос о существовании вариационного множителя и дан конструктивный способ его построения.
Во второй главе рассмотрено применение групп преобразований для отыскания первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени.
В связи с этим в первом параграфе данной главы установлена взаимосвязь между инвариантностью до дивергенции действия по Гамильтону и первыми интегралами соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа.
Во втором параграфе доказано, что генераторы симметрии до дивергенции функционала образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов.
В третьем параграфе принцип стационарного действия Якоби сформулирован для случая потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.
В четвертом параграфе показано, что в случае абсолютной инвариантности действия по Гамильтону симметрии функционала являются симметриями соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа.
Известно, что если уравнения движения допускают прямую вариационную формулировку, то в невырожденном случае с помощью преобразования Лежандра можно понизить порядок уравнений, то есть свести их к системе уравнений Гамильтона. Этот подход обобщен на случай уравнений движе- ния систем с бесконечным числом степеней свободы. В связи с этим третья глава диссертации посвящена исследованию уравнений движения с первой производной по времени.
В первом параграфе установлена взаимосвязь между решениями и первыми интегралами, в общем случае, неклассических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях. Кроме того, во втором параграфе разработан метод, позволяющий находить частные решения уравнений первого порядка, что является распространением метода показателей Ковалевской (см. монографию В.В. Козлова [24]) на случай систем с бесконечным числом степеней свободы.
Следует отметить, что операторные подходы к различным вопросам, изложенным и получившим развитие в настоящей диссертации, позволили разработать единый подход к исследованию разнообразных типов уравнений движения, а также их систем.
Глава 1
О существовании действия по Гамильтону для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы с производной второго порядка по времени
В настоящей главе получены необходимые и достаточные условия представимости достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени в форме уравнений Эйлсра-Лагранжа и построено соответствующее действие по Гамильтону. Кроме того, определена общая структура заданных уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.
В случае уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы получены условия существования вариационного множителя.
Теоретические результаты данной главы проиллюстрированы на конкретных примерах.
§1.1 Необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме
Дифференцируемость нелинейного оператора
Операторы, определенные на множествах числовой прямой, называются абстрактными функциями.
Пусть u(t)(to < t < ti) - абстрактная функция со значениями в линейном нормированном пространстве U\. Функция u{t) называется непрерывной в точке t Е (to,t\), если
\im{u(t) - u(t)) = 0. tt
Предел здесь рассматривается по норме пространства U\.
Множество всех непрерывных на [to, t{\ функций со значениями в линейном нормированном пространстве U\ образует линейное пространство, которое обозначается C([to,ti]; U\).
Теорема 1.1. [13] Формула u(t) = v(',t) Е С(п) Vt Е [?0^1] устанавливает биективное отображение v —У и между функциями v E C(Q x [io5^i]) и и € C{[tQ,ti];C(Q)). Кроме того, функция v Е С1^ X [to,t\]) имеет частную производщю |^ Е С(п х [to,ti])} когда ей соответствует функция u{t) E С{{[1цЛЛ]\С(й)). При этом §(-,i) = u'(t) Vt E [to,ti].
Пусть Лг — оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел М, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т. е.
N(u) =v, и eU, v E V.
Если в точке и Е D(N) существует предел
6N(u,h) = \\m-{N(u + eh) - N{u)} \fh E U, (1.1)
то он называется вариацией Гато оператора TV в точке и (или первой вариацией оператора iV в точке г*).
В формуле (1.1) выражение N(u + eh) определено при таких е, что (и + t/г) Е D(N). Вариация 8N(u,h) есть выражение, однородное по /г : 5N(u,\h) = \5N(u,h). Однако оператор 5N(u,-) : U —> V не всегда является аддитивным по h.
Если при фиксированном и Е D(N) вариация 6N(u,h) является линейным по h оператором, то говорят, что оператор Лг дифференцируем в точке и в смысле Гато. Выражение <5iV(w, h) называется дифференциалом Гато и обозначается через DN(u,h). В этом случае используют также запись DN(uJi) = N^h и говорят, что N'u есть производная Гато оператора N в точке и.
13
Если N — линейный оператор, то N'uh = Nh, т. е. производная Гато линейного оператора есть сам линейный оператор.
В дальнейшем будем предполагать, что для всякого рассматриваемого оператора N : D(N) С U -> V в любой точке и G D(N) существует N'u. Область определения D(N'U) состоит из таких элементов h E U, что (и + ?h) E D(N) для любого достаточно малого значения е. Элемент h E D{N!V) будем называть допустимым элементом. Отметим, что в общем случае D(N) ф D(N'U).
При существовании производной Гато оператора N имеет место равенство
N(u + eh) = N(u) + sN'uh + r(u,eh), и Е D(N), где для любого фиксированного элемента h E D(Nli)
(1.3)
Если известна производная Гато оператора N, то [29]
(1.4)
т.е. при О Е D(N) (1.4) — формула восстановления оператора по его производной Гато.
Отметим, что если Nu — некоторый линейный оператор, произвольным образом зависящий от и, то производная Гато находится по формуле
- Nug
Билинейные формы
С целью полноты изложения и ясности употребляемой терминологии приведем некоторые сведения о билинейных формах, которые будут использоваться в дальнейшем исследовании.
Определение 1.1. Отображение Ф(-,-) '¦ V х U -^ Ш, линейное по каждому аргументу, называется билинейной формой.
2) из условия Ф(г>, /г) = 0 V/г G С/ следует, что v = 0.
ловия В-потенциальности операторов и дадим формулу для построения соответствующего интегрального функционала. Эти результаты будут применены для построения вариационных формулировок конкретных задач.
Определение 1.4. [41] Оператор N : D(N) С U —> V называется В-потенциальным на множестве D(N) относительно билинейной формы вида (1.G), если существуют линейный оператор В : D(B) С V —> V и дифференцируемый по Гато функционал F^ ' D(F^) = D(N) —>¦ R такие, что
5FN[u, h] = Ф(#(и), Bh) Уи e D(N), V/г G D(N'U, Б), где Z?№B) = {« : « G Z?(iVi) П D{B)}.
Функционал Fn называется В -потенциалом оператора N, a N — В-градиентом функционала F^. Записывают N = В — grad^F^. Оператор N называется В-потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Если В = /—единичный оператор, то функционал Fn называется потенциалом оператора JV, а N — градиентом функционала F^. В этом случае говорят, что уравнение N(u) = 0 допускает прямую вариационную формулировку.
Будем предполагать, что для любых фиксированных элементов и G D(N), g, It G D(N'ui В) функция (р(е) = Ф(М(и-\-?п), Bg) принадлежит классу С^О, 1],
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23169.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.