У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Об устойчивости движения неконсервативнык систем со связями
Количество страниц
86
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23167.doc
Содержание
Содержание
Введение 4
Глава 1. Постановка задачи. Простейшие механические модели
1.1 Описание основной механической системы и постановка задачи... 12
1.2 Неустойчивость движения одного конька... 13
1.3 Реализация связей и диссипативный момент... 19
1.4 Движение двух последовательно соединенных коньков 26
1.5 Влияние диссипативного момента на устойчивость движения... 34
Глава 2. Неустойчивость движения п транспортируемых коньков
2.1 Движение п последовательно соединенных коньков . . 39
2.2 Предельный переход при п —> со... 52
Глава 3. Стабилизация движения п транспортируемых коньков
3.1 Влияние диссипативного момента на устойчивость
движения... 58
2
3.2 Влияние сил упругости на устойчивость движения . . 62
3.3 Влияние демпферов в шарнирах на устойчивость движения ... 65
Глава 4. Устойчивость положений равновесия систем с диссипацией
4.1 Обращение теоремы Лагранжа-Дирихле и асимптотические движения... 71
4.2 Постановка задачи ... 73
4.3 Неголономные системы с диссипацией... 74
4.4 Голономные системы с частичной диссипацией ... 78
Заключение 84
Литература 86
Введение
Существует целый ряд практических задач о движении цепочек твердых тел в среде с сопротивлением или же на шероховатой поверхности. Этот класс задач механики относится к разделу динамики систем многих тел (multibody dynamics [1,2]). Актуальность исследования динамики многозвенных систем обусловлена большим прикладным значением в таких отраслях как робототехника, транспортные системы, физика полимеров [3-10]. В настоящей работе основное внимание уделяется вопросам устойчивости движения цепочек тел.
При некоторых ограничениях относительно формы тел, входящих в цепочку, а также на характер действующих сил, рассматриваемая система может допускать прямолинейное движение цепочки как твердого тела. Вместе с тем, в реальных технических системах очень часто данное движение оказывается неустойчивым. Похожие явления наблюдаются также при движении тросовых систем (Рис. 0.1), которые можно рассматривать как предельный случай движения цепочек твердых тел при п —>¦ со, где п количество звеньев.
Пример потери устойчивости прямолинейного движения тросовой системы, созданной для исследования атмосферы Марса учеными Московского авиационного института, приводится в работе
С.Д. Фурты [12]. Система состояла из переносимого ветром аэростата и цепочки твердых тел конической формы, прикрепленной к гондоле аэростата с помощью троса. На практических испытаниях, проводимых на Земле, оказывалось, что когда аэростат двигался с достаточно большой скоростью, цепочка тел совершала значительные поперечные колебания, что приводило к неустойчивости движения всей системы. В статье [12] неустойчивость объяснялась непостоянством коэффициента трения в зависимости от точки плоскости, по которой двигалась связка последовательно соединенных твердых тел.
Другой пример подобной системы содержится в книге Р. Бишопа [13], где описывается явление потери устойчивости длинной эластичной емкости, заполненной нефтью. Здесь также оказывалось, что при определенных скоростях буксира транспортируемая емкость совершала поперечные колебания с большой амплитудой, препятству-
ющие движению, однако потерю устойчивости в данной системе нельзя объяснить влиянием неоднородной силы трения.
Между тем, возможны другие механизмы потери устойчивости. Например, если рассмотреть элементарный твердый сегмент, движущийся в среде с сопротивлением, то с физической точки зрения совершенно очевидно, что для того чтобы совершить виртуальное перемещение параллельно его плоскости нужно затратить работу меньшую, чем в перпендикулярном направлении. Предельная ситуация приводит к наложению на систему дополнительной неинтегриру-емой связи, запрещающей перемещение сегмента в перпендикулярном направлении. Связи такого типа рассматривались ранее и для систем с бесконечным числом степеней свободы. В частности, в работах [14-18] авторы пытались таким образом объяснить механизм движения рыб и змей в воде.
Известно, что влияние неинтегрируемых связей может приводить к потери устойчивости в реальных системах. Прежде всего речь идет о шимми ведущего колеса самолета [19]. Другой пример — неустойчивость движения игрушечной собаки на колесах, которую тянут за веревку, содержится в книге [13]. В статье [20] рассмотрены системы с бесконечным числом степеней свободы (тросы) с позиции влияния связи на устойчивость. Эта работа имела своей целью объяснить явление потери устойчивости буксируемой длинной емкости, заполненной нефтью [13].
Как уже отмечалось, распределенную систему можно считать предельным случаем цепочки твердых тел. В настоящей работе рас-
сматривается задача о механизме потери устойчивости прямолинейного движения простейшей цепочки твердых тел с произвольным количеством звеньев, на которую наложены дополнительные неин-тегрируемые связи.
Классической общепризнанной моделью неинтегрируемой связи является неголономная связь. С другой стороны, существует другая модель, предложенная В.В. Козловым [21,22] — модель ваконом-ной связи, которая основана на вариационном Лагранжевом подходе. Сравнению этих двух моделей с точки зрения корректности математической постановки посвящена статья [25].
Тем не менее, у исследователей, более ориентированных на приложения, предложенный формализм вакономной механики вызывает некоторые возражения (см. статью Г. Дзампьери [26], показывающую, что классическая система (конек Чаплыгина), рассматриваемая, как вакономная, ведет себя странным образом). Между тем надо иметь в виду, что любая неинтегрируемая связь является идеализацией и появляется как результат некоторых больших по модулю сил. Так, например, в работе М.В. Дерябина и В.В. Козлова [27] дается объяснение "парадоксальным" частным движениям вакономного конька [26] на основании эффекта "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости.
Известно, что большие силы трения специального вида приводят в пределе к появлению неголономной связи. Первая работа относительно возможной реализации связи принадлежит К. Каратеодори [28]. Аккуратное доказательство этих утверждений содержится в работах
А.В. Карапетяна и В.Н. Бренделева [29,30]. Проблема реализации неголономных связей была рассмотрена также И. Баумгарте [31]. В своей статье он рассмотрел ее методами численного анализа, не доказывая теорем о предельном переходе.
Вакономная связь может быть реализована с помощью действия больших инерционных сил, возникающих за счет действия присоединенных масс (эффект хорошо известный в гидродинамике). Поэтому вакономная модель может оказаться более предпочтительной для описания предельного движения цепочки тел в жидкости.
Одна из задач данной диссертации — показать, что механизм неустойчивости лежит в характере взаимодействия тел со средой, т. е. в соответствующей модели силы трения.
Другая задача, рассмотренная в диссертационной работе, является продолжением исследования асимптотических свойств движений механических систем, начатых В.В. Козловым [32-35]. Как известно [36], сущность первого метода Ляпунова состоит в нахождении общего или частного решения уравнений возмущенного движения механической системы, позволяющего сделать вывод о том, устойчиво ли ее нулевое решение или нет. В случае, когда кинетическая энергия Т (q, q) и потенциальная энергия V (q) натуральной голономной системы представляют собой аналитические функции, a q = 0 является невырожденной критической точкой потенциальной энергии, эта задача полностью решена A.M. Ляпуновым. При отсутствии минимума в точке q = 0 асимптотическое решение находится в виде
Ситуация, когда отсутствие минимума нельзя определить по квадратичной форме разложения потенциальной энергии подробно рассматривалась в работах [32,34]. Неустойчивость выводилась из теоремы о существовании асимптотического решения, которое было представлено рядом с обобщенно-степенной асимптотикой. Позже В.В. Козловым рассматривались возможные построения асимптотических решений и для неголономных систем.
Хорошо известно, что если q = 0 — точка строгого локального минимума потенциальной энергии V (q), то невозмущенное движение q[t) — О неголономной системы устойчиво по Ляпунову на инвариантном многообразии, задаваемом уравнениями связей [37], как при действии диссипативных сил так и при их отсутствии. Обратное утверждение при некоторых дополнительных предположениях было доказано в [33] для консервативных систем. В настоящей диссертации применяется обобщенный первый метод Ляпунова для неголономных систем с полной диссипацией и для голономных систем с частичной диссипацией.
Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе дается постановка задачи об устойчивости п последовательно соединенных коньков. Подробно разбираются случаи п = 1, п = 2. В этом разделе приводятся различные модели для описания влияния среды на движение тел в цепочке. Рассматриваются системы, на которые наложены неинтегрируемые связи и системы, на которые воздейст-
вует анизотропная сила трения, а также исследуется эффект присоединенных масс на устойчивость движения.
Глава 2 посвящена обобщению полученных результатов на системы с произвольным числом звеньев. Основной результат заключается в том, что вне зависимости от того, какие значения выбраны для безразмерных параметров, характеризующих систему, движение п транспортируемых коньков неустойчиво. Причем в системе, на которую наложена неголономная связь, неустойчивость будет типа флаттера. Показано также, что если рассматривать дифференциальные уравнения, получающиеся из вариационного принципа Гамильтона, то можно придти к тому же выводу о неустойчивости движения, только неустойчивость будет иметь другой тип. В заключении этой части диссертационной работы рассмотрен случай п —> со. Путем формального предельного перехода устанавливается взаимосвязь между уравнениями движения длинной транспортируемой емкости [20] и уравнениями движения цепочки тел.
В главе 3 основное внимание уделяется стабилизации прямолинейного движения цепочки твердых тел. В первом параграфе описывается влияние свойств среды на устойчивость. Показано, что при наличии достаточно большого диссипативного момента и силы трения рассматриваемое движение может быть стабилизировано. В других двух параграфах этой главы рассмотрены различные механические устройства соединения тел в цепочке. Дается обоснование того, что при дополнительном соединении тел пружинами движение остается неустойчивым; влияние же демпферов достаточной жесткости спо-
собно застабилизировать прямолинейное движение п транспортируемых коньков.
Устойчивости положения равновесия в механических системах с диссипацией посвящена глава 4. Исследование проводится с помощью обобщенного первого метода Ляпунова, развитого в работах В.В. Козлова и С.Д. Фурты [32,33,35,38]. Для неголономной системы с полной диссипацией доказывается неустойчивость положения равновесия в том случае, когда потенциальная энергия V (q) в критической точке не имеет минимума, и отсутствие минимума можно определить по первой нетривиальной однородной форме в разложении V (q) в ряд Маклорена. Неустойчивость выводится из существования асимптотического решения к положению равновесия. Также с помощью первого метода Ляпунова исследуются равновесие голоном-ной системы с частичной диссипацией. Отметим, что существование полученных асимптотических решений не следует из опубликованных ранее работ [32,33,35,38]. Также новыми являются результаты относительно неустойчивости положений равновесия (ср. [39-42]).
Глава 1
Постановка задачи. Простейшие механические модели
1.1 Описание основной механической системы и постановка задачи
Рассматривается система, состоящая из материальной точки А, перемещающейся с постоянной скоростью и, к которой посредством невесомого стержня прикрепляется связка тел. Без ограничения общности можно считать, что точка движется в отрицательном направлении оси Ох. Для моделирования движения связки п тел выберем систему п последовательно соединенных коньков. Мы будем предполагать, что масса цепочки и ее длина остается постоянной при изменении числа п. Затем введем следующие обозначения: L — длина стержня, ^ — длина конька, ^ — масса конька, ^зи^ — углы поворота стержня и j -го конька соответственно, отсчитываемые от оси Ох.
Проекция скорости точки контакта j-то конька v?. на направление, перпендикулярное плоскости конька, равна нулю, что определяет наличие неинтегрируемых связей в системе. На каждый конек в
точке Cj действует сила трения
Ff = ~D(vc.)vc. (j = 1,... , n) , (1.1)
где ус, = |vCj • Если выбирается модель сухого трения, то D(vcj) = т^, в случае вязкого трения D(vcj) = &о (&-i и ко — некоторые положительные константы). В принципе, возможно рассмотреть и квадратичный закон трения, что не приведет к существенным изменениям в дальнейших рассуждениях.
Обобщенные координаты q = (
Ч> W = Фг (О = Ф2 W = • • • = Фп (t) = 0 . (1.2)
Доказательство неустойчивости движения (1.2), а также изучение возможности его стабилизации представляет основную задачу данной работы. На примере одного транспортируемого конька показывается, что возможной причиной неустойчивости является специфический характер воздействия среды на движение тел в связке.
1.2 Неустойчивость движения одного конька
Рассмотрим вначале наиболее простую систему, состоящую из одного транспортируемого конька. Схематически система изображена на рисунке 1.1, где отрезок АВ\ соответствует стержню, а отрезок коньку.
В выбранных координатах вектор и = (и, 0). Мы будем предпола-
гать, что лезвие конька перпендикулярно плоскости, по которой он движется.
Перейдем к выводу уравнений движения. Заметим, что в момент времени t точка С\ (точка касания конька с плоскостью) имеет координаты r^ = (xc^yct)'-
xCi = xo — ut + L cos (p + | cos ф\ ,
Отсюда Vd = (—и — Lsin
Условие неголономной связи в координатах q = ((p, ф{) можно записать в виде
= Lcos(
-ф
= 0 ,
здесь n — вектор ортогональный В\В2, т.е. п = (—si
Найдем теперь компоненты обобщенных сил Q *т и Q л, действую-
щих на систему jr =
Qjr = Ffr^ = -D(yCl)L [L0 + usin^ + l- cos Qlr = Ffr^ = -^c^ fusing + Lcos{
= \L cos {
(1.3)
Будем считать, что центр масс конька лежит на вертикальной прямой, проходящей через точку касания. Тогда во введенных координатах кинетическую энергию можно представить в виде
Т (q, q) = \m (хД
ТП /о го .о ' ,* 2 гт 1 1 \ • 1 IЛ А\
= —[и + Ь ф Н----^1 + Lt cos ур — ф\) ф ф\ -\- l-L-v
1 • 2
+ 2uL sin ^ + ul sin "01 V'l) + « ^i •
Здесь / — момент инерции конька относительно оси, перпендикулярной плоскости Оху, am — масса конька. Можно считать, что / = тРа (а — константа, зависящая от формы конька). Запишем уравнения Лагранжа:
dt
15
С учетом выражений (1.3), (1.4) получим: тЬф + гпт} cos (ip — ф\) ф\ + m| sin {ip — фх) фх = = —D(vci) [L
cos ((p — ф\) ф + ml (^ + 2a) ^i — mi sin ( — ф{) ф2 = d) [usin-01 + Lcos (y7- ^i)y> +5^1 ] +Л ,
Z- cos (tp — ф\) ф + | ^i + u sin ф\ = 0 . Линеаризуем систему (1.5)
mL
mLCp + ml (| + 2a) ^ = -JD(u) [w^i + Ly> + ^ ] + A , (1.6)
L99 + I ^1 + иф\ = 0 .
Отметим, что линейное приближение (1.6) имеет указанный вид вне зависимости от того, какая модель трения (1.1) выбрана. Уравнения (1.6) можно упростить:
тЬф + т^фх = —D(u)u [(р — фх] + А ,
т\ф + ml (| + 2а) фх = А , (1.7)
Ьф-\-^ фх+ ифх = 0 . Далее перейдем к безразмерным переменным. Для этого сделаем за-
мену времени t ь->- ^t и множителя А ь-> ^у-А. Кроме того, введем обозначения для безразмерных параметров
0-$Л-У& ¦ (1-8)
I ти
Перепишем уравнения (1.7) в следующем виде:
РФ + \Фг = -т Ь - 0i] + А ,
= \, (1.9)
Затем исключим Л из уравнений (1.9)
ф1] , РФ + \Ф\ + Ф\ = 0 •
Характеристический полином p(z) системы (1.10) будет многочленом третьей степени
p(z) = 2Paz3 + 7 Q + P)z + 7 •
У тверже дение 1.1. Характеристический многочлен p(z) имеет один вещественный отрицательный корень, а два других его корня являются комплексно сопряженными числами с положительной вещественной частью.
Доказательство. Обозначим через zi,Z2,z^ корни p(z). Доказательство первой части утверждения, что Kezi < 0 — очевидно, а то, что Rez2,3 > 0 и Z2 = гз следует из равенств Z\ +Z2+Z3 = 0 и р{х) > 0, xGR; х > 0. Ч.т.д.
Из утверждения 1.1 выводится неустойчивость исследуемого движения.
Следуя работам [22-24], рассмотрим данную систему с точки зрения вакономной механики. Рассматриваемая модель может быть применена для описания движения транспортируемого тела в среде с сопротивлением.
Основываясь на вариационном принципе Гамильтона и решая соответствующую вариационную задачу [22], можно прийти к следую-
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23167.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.